III unidad Trazado de Curvas Técnicas

Trazado de curvas técnicas

En esta unidad Trazaremos curvas técnicas (óvalos, ovoides y espirales), estos estas formados por arcos de circunferencia tangentes.

    1-   Ovalo: Curva cerrada y plana, compuesta por arcos de circunferencia tangentes entre sí. Tiene dos ejes de simetría perpendicular entre sí, y que se cortan en sus puntos medios.

Para trazar un ovalo dado el eje Mayor

Primero trazamos una recta siendo el inicio el punto A y el final el punto B el eje mayor.

Se divide en tres partes iguales, quedando las divisiones de la siguiente manera: el punto de inicio A, los puntos de intersección  M y N y el punto final B.

Con centro en la intersección M y con radio en a A se describen la primera circunferencia.

Con centro en la intersección N y con radio en a B se describen la segunda circunferencia.

Debemos de trazar una diagonal que este entre el centro de M y N hasta los puntos de encuentro donde se interceptan las circunferencias siendo estos los puntos O y P.

Trazamos una diagonal desde O pasando por M y N individualmente para obtener los puntos H y G.

Trazamos una diagonal desde P pasando por M y N individualmente para obtener los puntos E y F.

Con centro en P y radio en E se describe el arco E F.

Con centro en O y radio en G se describe el arco G H.

Para trazar un ovalo dado el eje menor

Primero trazamos una recta siendo el inicio el punto A y el final el punto B el eje mayor.

                                                                                                     

Y una diagonal que pase por el centro de AB siendo el punto medio O y así se describe el eje menor CD.

En el punto medio O de este eje y con radio igual a la mitad del mismo se describe una circunferencia.

Los puntos donde la circunferencia corta al eje mayor serán M y N.

Trazamos una diagonal desde C pasando por M y se obtiene el Punto H.

Trazamos una diagonal desde C pasando por N y se obtiene el Punto G.

Trazamos una diagonal desde D pasando por M y se obtiene el Punto E.

Trazamos una diagonal desde D pasando por N y se obtiene el Punto F.

Con centro en C y radio en D se describe un arco de circunferencia GDH.

Con centro en D y radio en C se describe un arco de circunferencia ECF.

Con centro en M y radio E se describe el arco EAH y con centro en N y radio en F se describe el arco FBG, con lo que se obtiene el ovalo buscado.

  2-   Ovoide: Curva cerrada y plana, compuesta por arcos de circunferencias tangentes entres si, dos arcos de igual radio y otros de radio distinto, siendo el mayor de ellos una semicircunferencia. Tiene un solo eje de simetría, que contiene a los centros de los arcos desiguales.

Para trazar un ovoide dado el eje menor

Se halla el punto medio O₁ del eje conocido y con centro en él se traza una circunferencia que tenga como diámetro el propio eje.

Se determina el punto O₂ en la intersección de la circunferencia con la mediatriz del eje AB.

Se trazan las rectas que pasan por los extremos A y B del eje y el punto O₂, antes hallado.

Con centro en A y en B se trazan dos arcos de radio igual al diámetro hasta que corten a las prolongaciones de las rectas que pasan por los puntos A y B y O_2.

Haciendo centro en O₂ y abriendo hasta las intersecciones de los arcos antes descritos con las prolongaciones de las rectas, trazamos el arco que completa el ovoide.

   3-   Espiral: Es una curva plana, abierta, generado por un punto P, situada en origen O de una semirrecta que se desplaza sobre ella con un movimiento longitudinal, al mismo tiempo que la semirrecta gira alrededor de O con un movimiento circular.

Para trazar un espiral de dos centros y paso constante

Se determina la magnitud 2A del paso constante y se halla su punto medio 1.

Con centro en el punto 1 se traza una semicircunferencia de diámetro 2A.

Se continua la espiral trazando el arco AC, con centro en el punto 2 y radio 2A.

Se describe después el arco CD, volviendo al punto 1 como centro y abriendo el compas hasta el punto donde termino el último arco trazado.

Para el arco DE se vuelve a tomar el punto 2 como centro, así sucesivamente hasta completar tantos giros como se quiera en el espiral.

II Unidad Transformaciones en el plano cartesiano en geogebra

        Transformación en el plano cartesiano en Geogebra.

Para todas las transformaciones necesitaremos un polígono, ya sea un rectángulo, un triangulo, un cuadrilátero etc, empezaremos con:

  1-   Traslación: Es un movimiento en el que los segmentos unen un punto cualquiera y su transformado, ambos se unen siempre con la misma dirección sentido y longitud.

El segmento, está orientado para realizar el desplazamiento, se denomina vector de traslación.

Vector: segmento de recta dirigido que posee magnitud, dirección y sentido

Simetría de traslación: una figura tiene simetría si se puede hacer que coincida exactamente en la original cuando se traslada una distancia dada en una dirección dada. La simetría de traslación solo existe para patrones infinitos.

Para realizar traslaciones de objetos necesitaremos de un vector que determinará la dirección, sentido y magnitud de la aplicación. La herramienta “traslada objeto por vector” perdirá que seleccionemos el objeto a trasladar (poligono 1) y luego un vector. El nuevo objeto será dependiente del objeto original y del vector.

   2-   Simetría Central: la simetría central es la que corresponde a 180° el punto o se denomina centro de simetría.

La herramienta “refleja objeto en punto” es similar a la traslación pero necesitaremos de un punto en vez de una recta. Esta reflexión aplica una trasformación de cada punto del objeto en su simetría respecto de un punto central o lo que es equivalente a una rotación de medio giro del objeto en torno a un punto. Para aplicar la trasformación el programa pedirá que seleccionemos primero el objeto (polígono 1) y luego el punto de reflexión.

  3-   Rotación: es una transformación de un objeto respecto de un punto y un ángulo.

La herramienta “Rotación” solicitara que seleccionemos en primer lugar el objeto a transformar  (Polígono 1), luego el punto de rotación y finalmente el ángulo (en grados sexagesimales o en radianes) en sentido horario o anti horario.

   4-   Simetría Axial: es lo que conocemos como imagen en el espejo donde dos figuras son congruentes respecto a un eje de simetría llamada Z_o.

Esta herramienta servirá para realizar una simetría axial de cualquier objeto. Por ejemplo puede ser un triangulo (polígono 1), y una recta (d). A continuación hacemos clic en le herramienta “refleja objeto en recta” y luego seleccionamos el triangulo simétrico respecto a la recta. Nota: Debemos de seleccionar el centro del polígono porque de lo contrario solo se reflejara el objeto seleccionado.

  5-  Homotecia: la homotecia es un MP (movimiento del plano), asociado a la semejanza, muchas literaturas la trata como escalación, la cual se aplica a una figura partiendo de un centro “H_o” aplicando a un factor de escala “K”, si K es mayor que 1 es ampliación, pero si K es menor que 1 es una reducción.

K>1 Ampliación.

K<1 Reducción.

Esta herramienta permite realizar una homotecia de centro “P” y factor “k” de un objeto cualquiera. El programa solicitara seleccionar en el siguiente orden, el objeto, el punto de homotecia y el factor de escala. 

I unidad Introducción a las Trasformaciones

Introducción a las Trasformaciones

Definiciones Básicas:

   1-   Una función o ampliación es una relación que asigna a cada elemento de “x” un elemento en “y”.

   2-   Grupo: Se llama grupo al conjunto de elementos para el cual está definida una operación algebraica denominada comúnmente multiplicación o adición.

    3-   Grupo Abeliano: es aquel que cumple la ley conmutativa.

    4-   Transformación del plano: Es la aplicación biyectiva del plano sobre sí mismo.

  5- Movimiento del plano: Se denota con la letra M (Mayúscula) y es la transformación del plano que no cambia la distancia entre sus composiciones.

    6-   Propiedades M (movimiento del plano):

a-   M transforma una recta en otra recta.

b-   M transforma un semiplano con frontera a en un semiplano con frontera a´ (a prima).

c-    M guarda la relación estar “entre”.

d-   M transforma un segmento AB en segmento A´B´.

e-    M transforma un rayo en otro rayo.

f-     M transforma un ángulo en otro ángulo igual al primero.

g-    M transforma rectas perpendiculares en rectas perpendiculares.

   7-   Congruencia: Una figura L´ es congruente a una figura dada L si existe un movimiento del plano (M) que transforma L en L´ esto se denota:

L

~ =

L´

    8-   Propiedades de la congruencia:

a-   La congruencia es reflexiva, si cada figura es congruente a sí misma.

b-   Simetría: Si la figura es congruente con L´.

c-    Transitiva: Si dos figuras son congruentes a una tercera.